G3 – Trigonométrie dans le triangle rectangle

I – Le triangle rectangle

II – Formule du cosinus

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a :

cos(B) =
AB
BC

cos(C) =
AC
BC


On ne peut pas calculer le cosinus de l’angle droit.

cosinus =
côté adjacent
Hypoténuse

III – Calculer une longueur avec le cosinus

Soit UPS un triangle rectangle en P tel que UP=5cm et PUS=39°. Calculer US.

Solution :
On commence par faire un dessin à main levée.
Dans ce triangle, on connaît l'angle PUS et son côté adjacent PU, et on cherche l'hypoténuse US. On peut donc utiliser le cosinus.

Dans le triangle UPS rectangle en P on a :
cos(PUS) =
UP
US

On remplace ce qu’on connait :
cos(39°) =
5
US

Produit en croix :
cos(39°)
1
=
5
US

US =
5×1
cos(39°)

  
  

US≈6,43

IV – D'autres formules : Sinus et Tangente

cosinus =
côté adjacent
Hypoténuse

sinus =
côté opposé
Hypoténuse

tangente =
côté opposé
côté adjacent

Comment choisir la «bonne» formule ?
On fait un bilan de la figure en terme d'angle, de côté adjacent, de côté opposé et d'hypoténuse. Puis on choisit la formule en fonction des mots qui apparaissent.


On veut calculer PC.

Bilan :
Dans le triangle OPC, on connait l'angle O et l'hypoténuse. On cherche le côté opposé.
On utilise donc le sinus de O.

V – Calculer un angle

Soit OPC un triangle rectangle en P tel que OP=8cm et PC=7cm. Calculer POC.

Solution :
On commence par faire un dessin à main levée.

Bilan :
Dans le triangle OPC, on cherche l'angle O et on connait le côté adjacent et le côté opposé.
On utilise donc la tangente de O.
Dans le triangle POC rectangle en P :
tan(POC) =
PC
PO

On remplace ce qu’on connait :
tan(POC) =
7
8

On utilise sa calculatrice pour obtenir l’angle : il faut qu'elle calcule arctan(7/8) ou tan-1(7/8) selon le modèle.
    
    
POC ≈ 41°