G5 – La sphère
I – La sphère
Soit O un point de l’espace et r un nombre positif ou nul.
La sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points de l’espace dont la distance au point O vaut r.
Cela signifie que tous les points de la sphère sont à la même distance du point O.
Dans la figure ci-contre, OA = OM = r
La sphère est une surface : elle correspond à la « peau de l’orange ».
La boule de centre O et de rayon r est l’ensemble des points de l’espace dont la distance au point O est inférieure à r.
C'est l'intérieure de la sphère.
Soit une sphère de centre O et de rayon r.
Toute droite passant par le centre O coupe la sphère en 2 points diamétralement opposés.
On appelle grand cercle tout cercle de centre O et de rayon r.
Pour la Terre, l’équateur est un grand cercle.
[AB] est un diamètre.
II - Section
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
Une sphère de rayon 4 m est coupée par un plan à 3 m de son centre. Quelle est la nature de la section obtenue et ses dimensions ?
La section d'une sphère par un plan est un disque.
Soient O le centre de la sphère et O' celui de la section.
En prenant un point M sur le bord de la section, on a le triangle OO'M qui est rectangle en O'
Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
OM² = O'M² + O'O²
4² = O'M² + 3²
O'M² = 16 − 9
O'M²=7
O'M = √7
O'M ≈ 2,65 m
III - Volume et aire
On considère une sphère de rayon r. L'aire de sa surface vaut :
A = 4π × r2
Une tente igloo a la forme d’une demi sphère de 2 m de diamètre.
Quelle surface de tissus a t-on utilisé pour la fabriquer ? (tapis de sol compris)
A = Ademi-sphère + Asol
A = + π × 12
A = 2π + π
A = 3π
A ≈ 9,42 m²
On considère une boule de rayon r. Son volume vaut :
V = × π × r3
Quel est le volume de l'igloo de l'exemple précédent ?
V = × π × 13
V = × π
V =
V ≈ 4,189 m3