N3 - Calcul littéral : Développer

I - Rappel : calculer avec des lettres

1 - Simplification d’expression.

On n’écrit pas le signe × sauf entre deux nombres.

$3 \times x + 2 \times 6 \times x^{2} = 3 x + 2 \times 6 x^{2}$
$5 x + 4 = 5 \times x + 4$

On écrit les nombres avant les lettres dans les multiplications « simplifiées ».

$t \times 9 = 9 t$
$8 \times (x \times 2 + 9) = 8 (2 x + 9)$

On écrit les expressions avec des puissances quand c’est possible.

$b \times b = b^{2}$
$r \times r \times r = r^{3}$
$3 \times x \times x = 3 \times x^{2} = 3 x^{2}$

2 - Les règles du calcul numérique s’appliquent.

l'addition est commutative. La multiplication est commutative.

$2 \times x \times 6 \times x = 2 \times 6 \times x \times x$
$a + b = b + a$

l'addition est associative. La multiplication est associative.

$2 \times 3 \times x = 2 \times (3 \times x) = (2 \times 3) \times x$
$2 x \times 6 x = (2 \times x) \times (6 \times x) = 2 \times x \times 6 \times x = 2 \times 6 \times x \times x = (2 \times 6) \times (x \times x) = 12 \times x^{2} = 12 x^{2}$
$2 + x + 3 + y = 2 + 3 + x + y = 5 + x + y$

les priorités doivent être respectées

$2 + 5 \times x = 2 + 5 x$
$(5 x)^{3} = 5 x \times 5 x \times 5 x = 125 x^{3}$
$5 x^{3} = 5 \times x \times x \times x$

3 - Substitution

« On peut remplacer n’importe qui par n’importe quoi »

on peut remplacer n’importe quel caractère (lettre ou nombre) par n’importe quelle expression (lettre, nombre, expression)

$x^{2} = x \times x$
$(5 a)^{2} = (5 a) \times (5 a)$
😋²=😋×😋
(
e^-tiθ
a²+b²
)² =
e^-tiθ
a²+b²
×
e^-tiθ
a²+b²

4 - Le « bon sens »

3 bonbons et 5 bonbons égalent 8 bonbons
3 bonbons et 5 patates égalent 3 bonbons et 5 patates
2 paquets de 3 bonbons égalent 6 bonbons

$2 y + 5 y = 7 y$
$5 x + 3 y = 5 x + 3 y$
$2 \times 3 x = 6 x$

II - Réduire

Réduire une somme c’est l’écrire avec le moins de terme possible en respectant les règles du calcul littéral.

$3 x + 5 x + 9 = 8 x + 9$
$2 a + 5 b + 8 a^{2} + 4 b - 4 a + a^{2} = 2 a - 4 a + 5 b + 4 b + 8 a^{2} + a^{2} = - 2 a + 9 b + 9 a^{2}$

On doit déplacer un terme avec le signe qui est DEVANT lui.
On ne peut pas déplacer des termes « prisonniers » dans des parenthèses

III - Supprimer des parenthèses dans une expression

On veut réduire l’expression $B = 5 x + 8 x^{2} + (7 x - 4) - (1 - 3 x^{2})$
Pour supprimer des parenthèses dans une expression, il faut regarder ce qui précède les parenthèses :

Si les parenthèses sont précédées d’un signe +, alors on peut les supprimer sans rien changer

B = 5 x + 8 x^{2} + 7 x - 4 - (1 - 3 x^{2})

Si les parenthèses sont précédées d’un signe –, alors :
On efface le signe – devant la parenthèse
On change tous les signes (+ ↔ –) à l’intérieur des parenthèses.
On supprime les parenthèses

B = 5 x + 8 x^{2} + 7 x - 4 (1 - 3 x^{2})

B = 5 x + 8 x^{2} + 7 x - 4 (- 1 + 3 x^{2})

B = 5 x + 8 x^{2} + 7 x - 4 - 1 + 3 x^{2}

On peut finir la réduction :

B = 5 x + 7 x + 8 x^{2} + 3 x^{2} - 4 - 1

B = 12 x + 11 x^{2} - 5

Si des parenthèses sont précédées d’une multiplication, on peut développer pour « libérer » les termes des parenthèses.

IV - Développer

Développer c’est transformer un produit en une somme ou une différence qui lui est égale.

Pour développer certaines expressions, on peut utiliser la distributivité simple. Pour tous nombres k, a et b :
$k (a + b) = k a + k b$
$k (a - b) = k a - k b$

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Développer puis réduire A=8(5x+4)
$A = 8 (5 x + 4)$
On applique la formule de distributivité
$A = 8 \times 5 x + 8 \times 4$
On réduit chaque terme de l’addition
$A = 40 x + 32$

Développer puis réduire $B = 8 (5 x + 4) + 5 (1 - 2 x)$
$B = (8 \times 5 x + 8 \times 4) + (5 \times 1 - 5 \times 2 x)$
$B = (40 x + 32) + (5 - 10 x)$
$B = 40 x + 32 + 5 - 10 x$
$B = 40 x - 10 x + 32 + 5$
$B = 30 x + 37$

Développer puis réduire $C = 5 (- 5 x + 2) - 3 (1 - 2 x)$
$C = [5 (- 5 x + 2)] - [3 (1 - 2 x)]$
$C = [5 \times (- 5 x) + 5 \times 2] - [3 \times 1 - 3 \times 2 x]$
$C = [- 25 x + 10] - [3 - 6 x]$
$C = - 25 x + 10 - 3 + 6 x$
$C = - 19 x + 7$

Double distributivité : pour tous nombres relatifs a, b, c et d :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

On peut traduire l'égaluité ci-dessus par une situation géométrique :
L'aire du grand rectangle est égale à la somme des aires des 4 petits.

Développe et simplifie l'expression suivante : $C = (3 x + 1) (2 x + 4)$
On applique la double distributivité.
$C = 3 x \times 2 x + 3 x \times 4 + 1 \times 2 x + 1 \times 4$
On effectue les produits et on simplifie.
$C = 6 x^{2} + 14 x + 4$

Développe et simplifie l'expression suivante : $D = (3 x + 1) (y - 4)$ .
On transforme la soustraction.
$D = (3 x + 1) (y + (- 4))$
On applique la double distributivité.
$D = 3 x \times y + 3 x \times (- 4) + 1 \times y + 1 \times (- 4)$
On calcule les produits et on simplifie.
$D = 3 x y - 12 x + y - 4$

on utilise deux fois la distributivité simple :
$(a + b) (c + d) = (a + b) \times c + (a + b) \times d = a \times c + b \times c + a \times d + b \times d = a c + a d + b c + b d$