N4 - Résolution d'équations

I – équations

1 – Qu'est-ce qu'une équation

une équation est une égalité où au moins un des membres est écrit avec au moins une inconnue désignée par une lettre.

3x–7 = 5
5x²–8x+5 = 6
(x–5)²+(y+9)²=6

En primaire, une équation est appelée une « opération à trou ».

En primaire	Au collège
3∆–7 = 5	3x–7 = 5

Membre de l'équation : Expression de chaque côté du signe =
Terme constant : Lorsque qu'un membre est écrit comme une somme, c'est un terme qui ne comporte pas d'inconnue.
Coefficient : Lorsque un terme comportant une inconnue est écrit comme un produit, c'est le nombre qui multiplie l'inconnue.

2 – En troisième

3 – Modifier une égalité

Une égalité est soit vraie soit fausse.

L'égalité 3 = 5 est fausse.
L'égalité 5 =

60

12

est vraie.
L'égalité 3x + 1 = 7 est vraie pour x = 2 et est fausse pour x ≠ 2.

On ne change pas la véracité d'une égalité quand :
On développe, réduit ou factorise un membre.
        Si 2(x – 3)=5 est vraie alors 2x – 6 = 5 aussi.
On ajoute ou soustrait au deux membres la même quantité connue ou inconnue.
        Si 3x + 4 = 8 est vraie alors 3x + 4 + 9 = 8 + 9 aussi.
        Si 5x + 3 = 6 est vraie alors 5x + 3 – 4x= 6 – 4x aussi.
On multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.
        Si 4x – 2 = 6 est vraie alors 3×(4x – 2)=3×6 aussi.

II – Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

1 – résoudre une équation

Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs de toutes les inconnues pour que l'égalité soit vraie.

Pour x = 3 l'égalité 5x – 7 = 8 est vraie. En effet 5×3 – 7 = 15 – 7 = 8. On dit que x = 3 est une solution de l'équation.
Attention il peut y avoir plusieurs solutions :
L'équation x² – 5x + 6 = 0 a deux solutions x = 2 et x = 3. En effet 2² – 5×2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 et 3² – 5×3 + 6 = 9 – 15 + 6 =0.

Résoudre une équation c'est transformer l'égalité de départ en une égalité du type x = la solution.

2 – résoudre ax + b = c

On suppose que a ≠ 0. L'équation ax + b = c admet une unique solution.

On veut résoudre 4x – 15 = 7.
Étape 1 : On annule le terme constant avec une addition ou une soustraction.
4x – 15 + 15= 7 + 15
4x = 22
Étape 2 : On se débarrasse du coefficient de l'inconnue avec une multiplication ou une division.

4x

4

=

22

4

x =

22

4

x = 5,5
Étape 3 : On vérifie la solution.
4×5,5 – 15 = 22 – 15=7

résoudre 5x + 13 = 4.
5x + 13 = 4
5x + 13 – 13 = 4 – 13
5x = -9

5x

5

=

-9

5

x =

-9

5

= -1,8

3 – résoudre ax + b = cx + d

On veut résoudre 5x – 4 = 7x + 9.
Étape 1 : On sépare les termes en x et les termes constants avec des additions ou des soustractions
5x – 4 +4 = 7x + 9 +4
5x = 7x + 13
5x –7x = 7x + 13 –7x
-2x = 13
Étape 2 : On se débarrasse du coefficient de l'inconnue avec une multiplication ou une division.

-2x

-2

=

13

-2

x =

13

-2

x = -6,5
Étape 3 : On vérifie la solution.
5×(-6,5) – 4 = -32,5 – 4 = -36,5 et 7×(-6,5) + 9 = -45,5 + 9 = -36,5

4 – Résoudre 3(5x – 4)+2(3x + 8) = 15

Avant de commencer la résolution, il faut développer et réduire les deux membres.