Factoriser c’est transformer une somme ou une différence en un produit qui lui est égal.
Pour factoriser certaines expressions, on peut chercher un facteur commun à chaque terme puis utiliser la distributivité simple « à l’envers ». Pour tous nombres k, a et b :
ka + kb = k(a + b)
ka – kb = k(a – b)
On appelle cela une factorisation à facteur commun.
Factoriser B = 49t - 56s
B = 49t - 56s
B = 7×7×t - 7×8×s
B = 7×(7×t - 8×s)
B = 7(7t - 8s)
Factoriser C = 6x2 + 9x
C = 6x2 + 9x
C = 3×x×x + 3×x×3
C = 3×x×(x + 3)
C = 3x(x+3)
Factoriser D = (6x + 5)(3x - 4) + (6x + 5)(x + 6)
D = (6x + 5)(3x - 4) + (6x + 5)(x + 6)
D = (6x + 5)(3x - 4) + (6x + 5)(x + 6)
D = (6x + 5)((3x - 4) + (x + 6))
Puis on réduit dans les parenthèses
D = (6x + 5)(3x - 4 + x + 6)
D = (6x + 5)(4x + 2)
Pour tous nombre a et b on a :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Ces formule permettent de développer certaines expressions ou de factoriser certaines expressions.
Développer (x + 9)2
On identifie l'identité
(x + 9)2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
On identifie a et b
a ↔ x et b ↔ 9
On remplace
(x + 9)2 = x2 + 2×x×9 + 92
↓ ↓ ↑ ↑ ↑
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
On réduit
(x + 9)2 = x2 + 18x + 81
Développer (x - 7)2
(x - 7)2 = x2 - 2×x×7 + 72
(x - 7)2 = x2 - 14x + 49
Développer (x + 5)(x - 5)
(x + 5)(x - 5) = x2 - 52
(x + 5)(x - 5) = x2 - 25
Développer (3x - 7)2
(3x - 7)2 = (3x)2 - 2×3x×7 + 72
(3x - 7)2 = 9x2 - 42x + 49
Factoriser x2 - 8x + 16
On identifie l'identité
x2 - 8x + 16
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
On identifie a2 et b2
a2 ↔ x2 et b2 ↔ 16
On en déduit a et b
a ↔ x et b ↔ √16 = 4
On vérifie avec le double produit 2ab
2ab = 2×x×4 = 8x
On remplace
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
↓ ↓ ↑ ↑
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Factoriser x2 + 6x + 9
a2 ↔ x2 et b2 ↔ 9
a ↔ x et b ↔ √9 = 3
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Factoriser x2 - 49
a2 ↔ x2 et b2 ↔ 49
a ↔ x et b ↔ √49 = 7
x2 - 49 = (x + 7)(x - 7)
Factoriser 9x2 + 24x + 16
a2 ↔ 9x2 et b2 ↔ 16
a ↔ 3x et b ↔ √16 = 4
9x2 + 24x + 16 = (3x + 4)2