N9 – Résoudre une inéquation

I – Inéquation (linéaire du premier degré à une inconnue)

une inéquation est une inégalité où au moins un des membres est écrit avec au moins une inconnue désignée par une lettre.

3x–7 > 5
5x²–8x+5 < 6
(x–5)²+(y+9)²≥6

On s'intéressera d'abord aux équations du type ax + b > c ou ax + b < c ou ax + b ≥ c ou ax + b ≤ c dites du premier degré à une inconnue.
On traitera aussi les équations pouvant s'y ramener.

Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour que l'inégalité soit vraie.

Pour x > 3 l'inégalité 5x – 7 > 8 est vraie.
L'affirmation est gratuite, mais on peut la vérifier pour qulques valeurs de x :
pour x = 6, on a 5 × 6 – 7 = 23 > 8 et l'inégalité est vraie
pour x = 2, on a 5 × 2 – 7 = 3 > 8 et l'inégalité est fausse
On voit que la solution à une inéquation peut être une infinité de nombres. Il faudra donc représenter ces solutions.

x > 3
x < 3

x ≥ 3
x ≤ 3

II – Résoudre une inéquation (linéaire du premier degré à une inconnue)

On ne change pas la véracité d'une inégalité quand :
On développe, réduit ou factorise un membre.
On ajoute ou soustrait au deux membres la même quantité connue ou inconnue.
On multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul POSITIF.

Si x > 3 alors x + 9 > 3 + 9
Si x > 3 alors 5 × x > 5 × 3

On sait que 5 > 3. Par contre, l'inégalité suivante est fausse : -2 × 5 > -2 × 3 (-10 > -6 est fausse). Pour la rendre vraie, il suffit de renverser l'inégalité : -10 < -6

On ne change pas la véracité d'une inégalité quand on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul NEGATIF ET QU'ON CHANGE LE SENS DE L'INEGALITE.

Si x > 3 alors -5 × x < -5 × 3

Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs de toutes les inconnues qui rendent l'inégalité vraie

Souvent on les représente de la manière suivante : x > 3 ou (dans le cas d'une inéquation à une inconnue x).

Résoudre ax +b > c
On va résoudre 2x - 6 > 3.
ON PROCEDE COMME POUR UNE EQUATION
On se "débarasse" du terme constant par une addition ou une soustraction
2x - 6 + 6> 3+ 6
2x > 9
On se débarasse du coefficient de x par une multiplication ou une division⚠️ ATTENTION AU SIGNE ⚠️

2x
2
>
9
2

x > 4,5

Résoudre -5x + 4 ≤ 8
-5x + 4 - 4 ≤ 8 - 4
-5x ≤ 4

-5x
-5
≥
4
-5
On divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité
x ≥ -
4
5