G2 - Triangles et proportionnalité

I - Triangles semblables

Dans un triangle, la somme des angles (aux sommets) est toujours égale à 180°



Calculer l'angle B.

A + B + C = 180°
B = 180 ° - (87° + 48°)
B = 45°

On dit que deux trianlges sont semblables quand ils ont les mêmes angles

Les triangles ABC et FDG sont semblables.

Il suffit de vérifier que deux couples d'angles sont égaux pour avoir des triangles semblables.

Quand deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

On dit que les triangles sont alors proportionnels.

Calculer des longueurs dans des triangles proportionnels.
Soit ABC et FDG les triangles proportionnels ci-dessous.

Calculer FG et DG.
Dresser le tableau de proportionnalité
Triangle ABCACCBBA
Triangle FDGDGGFFD

Remplacer par les longueurs
Triangle ABC4,16,55
Triangle FDG7

Compléter le tableau
Triangle ABC4,16,55
Triangle FDG5,749,17

Répondre à la question
FG = 9,1cm et DG = 5,74cm.

II - Proportionnalité – agrandissement – réduction.

1 - Proportionnalité dans le triangle

Dans un triangle ABC, I est un point du segment [AB] et J est un point du segment [AC].
SI (IJ) est parallèle à (BC)
ALORS les triangles AIJ et ABC sont proportionnels

Cet énoncé est lié à la figure suivante :

Donc le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
Triangle AIJAIAJIJ
Triangle ABCABACBC

2 - Agrandissement - réduction

Si deux figures sont proportionnelles, on dit que l’une est l’agrandissement ou la réduction de l’autre.

Plus précisément avec des coefficients MULTIPLICATIFS :
Si le coefficient de proportionnalité est supérieur à 1, on parle d’agrandissement.
Si le coefficient de proportionnalité est compris entre 0 et 1, on parle de réduction.

Triangle AIJ468
Triangle ABC6912
ABC est un agrandissement de AIJ car le coefficient de proportionnalité est égal à
3
2
.
AIJ est une réduction de ABC car le coefficient de proportionnalité est égal à
2
3
.

Dans un agrandissement/réduction, les angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés.