N2 - Nombres en écriture fractionnaire

I - Rappels : quotient

a ÷ b =
a
b

II - Egalité de 2 quotients.

1 - Simplification

Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d'un quotient par un même nombre non nul alors on obtient un quotient égal.

Pour tout nombre k ≠ 0 on a :
k × a
k × b
=
a
b
ou
a ÷ k
b ÷ k
=
a
b


25
15
=
5×5
5×3
=
5
3

27
45
=
27÷9
45÷9
=
3
5

Simplifie le quotient
40
-140
.
Etape 1 : On détermine le signe du quotient
40
-140
= –
40
140

Etape 2 : On écrit le numérateur et le dénominateur comme des produits ayant un ou plusieurs facteurs en commun
–
40
140
= –
7×6
7×20

Etape 3 : On simplifie
–
40
140
= –
7×6
7×20
= –
6
20

Etape 4 : On refait l’étape 2 si nécessaire
–
6
20
= –
2×3
2×10
= –
3
10

Détermine le nombre manquant dans l'égalité
1,5
7
=
...
21

Etape 1 : Pour « transformer » 7 en 21, il faut multiplier par 3
1,5
7
=
...
21


Etape 2 : Ainsi, pour trouver le nombre manquant, on multiplie 1,5 par 3, ce qui donne 4,5.

1,5
7
=
4,5
21

2 - Réduction au même dénominateur

Réduire deux fractions au même dénominateur, c’est trouver des fractions qui leurs sont égales et qui ont le même dénominateur.

Réduire
7
8
et
9
12
au même dénominateur.
Etape 1 : On cherche un multiple non nul commun aux deux dénominateurs
0×1×2×3×4×5×6×7×
Multiples de 808162432404856
Multiples de 12012243648607284
Et on en choisit un (souvent le plus petit possible) : 3 × 8 = 24 et 2 × 12 = 24

Etape 2 : On « modifie » les écritures des deux fractions
7
8
=
3×7
3×8
=
21
24

9
12
=
2×9
2×12
=
18
24

3 - Produit en croix

Deux quotients
a
b
et
c
d
sont égaux si et seulement si les produits en croix a×d et b×c sont égaux.

2
3
=
1,6
2,4
car 2 × 2,4 = 4,8 et 3 × 1,6 =4,8.

Si les produits en croix ne sont pas égaux, les fractions ne sont pas égales.

Les nombres
11
12
et
13
14
ne sont pas égaux car 11 × 14 = 154 et 12 × 13 = 156.

Compléter
1,2
8
=
...
9
pour que les quotients suivants soient égaux.
Etape 1 : On écrit l’égalité des produits en croix : 1,2 × 9 = 8 × …
Etape 2 : on effectue le multiplication qu’on peut effectuer : 10,8 = 8 × …
Etape 3 : On résout l’opération à trou : … = 10,8 ÷ 8 = 1,35
1,2
8
=
1,35
9

III - Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur et on a :
a
c
+
b
c
=
a+b
c

3
4
+
7
4
=
10
4

Si les fractions n'ont pas le même dénominateur, il faut les réduire au même dénominateur AVANT de les additionner.

3
4
+
5
6
=
3×3
3×4
+
2×5
2×6
=
9
12
+
10
12
=
9+10
12
=
19
12

Effectuer les opérations suivantes en détaillant les calculs.
4
3
–
5
9
=
2 +
5
3
=

IV - Multiplication

1 - Multiplier un nombre décimal par une fraction

Pour tous nombres a, b et c
a ×
b
c
=
a×b
c


5 ×
14
8
=
5×14
8
=
70
8

on peut simplifier AVANT d’effectuer la multiplication.
25 ×
14
15
=
25×14
15
=
5×5×14
5×3
=
5×14
3
=
70
3

2 - Multiplier deux fractions

Pour tous nombres a, b, c et d
a
b
×
c
d
=
a×c
b×d


2
3
×
4
5
=
8
15

on peut simplifier AVANT d’effectuer les multiplications.
25
7
×
14
15
=
25×14
7×15
=
5×5×7×2
7×5×3
=
5×2
3
=
10
3

V - Division

1 - Inverse

Soit x un nombre différent de zéro. L’inverse de x est le nombre
1
x
.


L’inverse de 5 est
1
5
.
L’inverse de -3,4 est
1
-3,4
=–
1
3,4

Soit x un nombre différent de zéro.
x ×
1
x
= 1
Le produit d’un nombre par son inverse est toujours égal à 1

l’inverse de 5 est
1
5
et l’inverse de
1
5
est 5.

l’inverse de l’inverse de 12 est 12.

L’inverse de la fraction
a
b
est la fraction
b
a
.

L’inverse de
-9
5
est
5
-9
.

2 - Quotient de quotients

Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse.


5
9
÷
4
3
=
5
9
×
3
4
=
15
36

1
3
5
6
=
1
3
×
6
5
=
6
15