N1 – Opérations sur les nombres relatifs

Objectif : Opérations (+ − × ÷ ) sur les nombres relatifs en écriture décimale.

I – Nombres relatifs : rappels

(-3), (+5), (-3,14) sont des nombres relatifs.

(-5) est l’opposé de (+5) qu'on peut aussi écrire 5.
8,2 est l’opposé de (-8,2)

Addition de deux nombres relatifs
Soit ils sont de même signe :
Le signe de la somme est le signe commun.
La distance à zéro est la somme des deux distances à zéro.
Soit ils sont de signes différents :
Le signe de la somme est le signe du terme qui a la plus grande distance à zéro.
La distance à zéro est la différence des deux distances à zéro.

(-8) + (+12) = (+4)

Soustraire une nombre, c'est ajouter son opposé

Soustraction de deux nombres relatifs
On veut effectuer (-8) − (-5)
On commence toujours par transformer la soustraction en addition
(-8) − (-5) = (-8) + (+5)
On effectue l'addition des nombres relatifs
(-8) − (-5) = (-8) + (+5) = (-3)

Simplifier une écriture
On veut simplier l'écriture (-3) + (+5) − (+8) + (-4)
SUR UN BROUILLON, on commence par effacer toutes les parenthèses des nombres relatifs
(-3) + (+5) − (+8) + (-4) = -3 + +5 − +8 + -4
TOUJOURS AU BROUILLON, on traite les "doubles signes"
+ + → +      − − → +      − + → −      + − → −
(-3) + (+5) − (+8) + (-4) = -3 + +5 − +8 + -4 = -3 + 5 - 8 - 4
Si l'expression commence par un +, on peut le supprimer
(-3) + (+5) − (+8) + (-4) = -3 + 5 − 8 − 4

L'expression alors obtenue s'appelle une somme algébrique

II - Somme algébrique

Effectuer une somme alébrique de 2 termes
On veut effectuer -8 + 7.
On commence réécrire l'opération avec tous les signes et les parenthèses (éventuellement au brouillon)
-8 + 7 = (-8) + (+7)
Puis on effectue l'opération
-8 + 7 = (-8) + (+7) = -1

Dans une somme algébrique, on peut déplacer un terme AVEC LE SIGNE QUI LE PRECEDE

On veut calculer -3 + 5 − 8 + 4 − 6
On commence par regrouper les termes de même signe en respectant le théorème précédent
-3 + 5 − 8 + 4 − 6 = +5 +4 -3 -8 -6
On effectue ensuite les additions entre termes de même signe
-3 + 5 − 8 + 4 − 6 = +5 +4 -3 -8 -4 = +9 -15
On effectue enfin la somme
-3 + 5 − 8 + 4 − 6 = +5 +4 -3 -8 -4 = +9 -15 = (+9) − (+15) = (+9) + (-15) = -6

III – Produit de nombres relatifs

1 – La règle

Pour multiplier deux nombres relatifs:
On détermine d'abord le signe du produit :
Si les deux facteurs sont de même signes, alors le produit est positif
Si les deux facteurs sont de signes différents, alors le produit est négatif
On multiplie ensuite les distances à zéro.

-3 × 2,5 = -7,5          -2,2 × (-4) = 8,8

L’opposé d’un nombre a est le nombre -a et on a toujours -a = -1 × a

L’opposé de (-32) est égal à (-1) × (-32) = (+32)

Si le produit de deux nombres est positif, alors ces deux nombres sont de même signe.
Si le produit de deux nombres est négatif, alors ces deux nombres sont de signes différents.

2 – Plusieurs multiplications

Pour multiplier plusieurs nombres relatifs :
On détermine d'abord le signe du produit en comptant le nombre de facteurs négatifs
Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif
Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif
On multiplie ensuite les distances à zéro.

-3 × (+5) × (-8) × (-2) = -240

IV – Quotient de nombres relatifs

Pour diviser deux nombres relatifs:
On détermine d'abord le signe du quotient :
Si les deux nombres sont de même signes, alors le quotient est positif
Si les deux nombres sont de signes différents, alors le quotient est négatif
On divise ensuite les distances à zéro.

C'est la même règle que le produit.