N3 - Calcul littéral

I - Rappel : calculer avec des lettres

1 - Simplification d’expression.

On n’écrit pas le signe × sauf entre deux nombres.


3×x+2×6×x2=3x+2×6x2
5x+4=5×x+4

On écrit les nombres avant les lettres dans les multiplications « simplifiées ».


t×9=9t
8×(x×2+9)=8(2x+9)

On écrit les expressions avec des puissances quand c’est possible.


b×b=b2
r×r×r=r3
3×x×x=3×x2=3x2

2 - Les règles du calcul numérique s’appliquent.

l'addition est commutative. La multiplication est commutative.


2×x×6×x=2×6×x×x
a+b=b+a

l'addition est associative. La multiplication est associative.


2×3×x=2×(3×x)=(2×3)×x
2x×6x=(2×x)×(6×x)=2×x×6×x=2×6×x×x=(2×6)×(x×x)=12×x2=12x2
2+x+3+y=2+3+x+y=5+x+y

les priorités doivent être respectées


2+5×x=2+5x
(5x)3=5x×5x×5x
5x3=5×x×x×x

3 - Substitution

« On peut remplacer n’importe qui par n’importe quoi »

on peut remplacer n’importe quel caractère (lettre ou nombre) par n’importe quelle expression (lettre, nombre, expression)


x2=x×x
(5a)2=(5a)×(5a)
©2=©×©
(
e-tiθ
a2+b2
)2 =
e-tiθ
a2+b2
×
e-tiθ
a2+b2

4 - Le « bon sens »

3 bonbons et 5 bonbons égalent 8 bonbons
3 bonbons et 5 patates égalent 3 bonbons et 5 patates
2 paquets de 3 bonbons égalent 6 bonbons


2y+5y=7y
5x+3y=5x+3y
2×3x=6x

II - Réduire

Réduire une somme c’est l’écrire avec le moins de terme possible en respectant les règles du calcul littéral.


3x+5x+9=8x+9
2a+5b+8a2+4b – 4a+a2=2a-4a+5b+4b+8a2+a2= – 2a+9b+9a2


On doit déplacer un terme avec le signe qui est DEVANT lui.
On ne peut pas déplacer des termes « prisonniers » dans des parenthèses

III - Supprimer des parenthèses dans une expression :

On veut réduire l’expression B=5x+8x2+(7x–4)–(1–3x2)
Pour supprimer des parenthèses dans une expression, il faut regarder ce qui précède les parenthèses :

Si les parenthèses sont précédées d’un signe +, alors on peut les supprimer sans rien changer

B=5x+8x2+7x–4–(1–3x2)

Si les parenthèses sont précédées d’un signe –, alors :
On efface le signe – devant la parenthèse
On change tous les signes (+ ↔ –) à l’intérieur des parenthèses.
On supprime les parenthèses

B=5x+8x2+7x–4 (1-3x2)
B=5x+8x2+7x–4 (–1+3x2)
B=5x+8x2+7x–4–1+3x2
On peut finir la réduction :
B=5x+7x+8x2+3x2–4–1
B=12x+11x2–5

Si des parenthèses sont précédées d’une multiplication, on peut développer pour « libérer » les termes des parenthèses.

IV - Développer

Développer c’est transformer un produit en une somme ou une différence qui lui est égale.

Pour développer certaines expressions, on peut utiliser la distributivité simple. Pour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka+kb k(a – b) = ka–kb

Développer puis réduire A=8(5x+4)
A=8(5x+4)
On applique la formule de distributivité
A=8×5x+8×4
On réduit chaque terme de l’addition
A=40x+32

Développer puis réduire B=8(5x+4)+5(1–2x)
B=(8×5x+8×4)+(5×1–5×2x)
B=(40x+32)+(5–10x)
B=40x+32+5–10x
B=40x–10x+32+5
B=30x+37

Développer puis réduire C=5(-5x+2)–3(1–2x)
C=[5×(-5x)+5×2]–[3×1–3×2x]
C=[-25x+10]–[3–6x]
C=-25x+10–3+6x
C=-25x+6x+10–3
C=-19x+7

V – Factoriser

Factoriser c’est transformer une somme ou une différence en un produit qui lui est égal.

Pour factoriser certaines expressions, on peut chercher un facteur commun à chaque terme puis utiliser la distributivité simple à l’envers. Pour tous nombres k, a et b :
ka+kb=k(a + b) ka–kb=k(a – b)

Factoriser B=49t–56s
B=49t–56s
On écrit chaque terme comme un produit de facteurs et on cherche les facteurs communs à chaque terme.
B=7×7×t–7×8×s
On applique la formule de distributivité à l’envers.
B=7×(7×t–8×s)
On simplifie les multiplications et on réduit si nécessaire.
B=7(7t–8s)