N5 - Résolution d'équations

I – équations

1 – Qu'est-ce qu'une équation

une équation est une égalité où au moins un des membres est écrit avec au moins une inconnue désignée par une lettre.

3x–7 = 5
5x²–8x+5 = 6
(x–5)²+(y+9)²=6

En primaire, une équation est appelée une « opération à trou ».

En primaire	Au collège
3∆–7 = 5	3x–7 = 5

Membre de l'équation : Expression de chaque côté du signe =
Terme constant : Lorsque qu'un membre est écrit comme une somme, c'est un terme qui ne comporte pas d'inconnue.
Coefficient : Lorsque un terme comportant une inconnue est écrit comme un produit, c'est le nombre qui multiplie l'inconnue.

2 – En quatrième

3 – Modifier une égalité

Une égalité est soit vraie soit fausse.

L'égalité 3 = 5 est fausse.
L'égalité 5 =

60

12

est vraie.
L'égalité 3x + 1 = 7 est vraie pour x = 2 et est fausse pour x ≠ 2.

On ne change pas la véracité d'une égalité quand :
On développe, réduit ou factorise un membre.
On ajoute ou soustrait au deux membres la même quantité connue ou inconnue.
On multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.

Si 2(x – 3)=5 est vraie alors 2x – 6 = 5 aussi.
Si 3x + 4 = 8 est vraie alors 3x + 4 + 9 = 8 + 9 aussi.
Si 5x + 3 = 6 est vraie alors 5x + 3 – 4x= 6 – 4x aussi.
Si 4x – 2 = 6 est vraie alors 3×(4x – 2)=3×6 aussi.

II – Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

1 – résoudre une équation

Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs de toutes les inconnues pour que l'égalité soit vraie.

Pour x = 3 l'égalité 5x – 7 = 8 est vraie. En effet 5×3 – 7 = 15 – 7 = 8. On dit que x = 3 est une solution de l'équation.
Attention il peut y avoir plusieurs solutions :
L'équation x² – 5x + 6 = 0 a deux solutions x = 2 et x = 3. En effet 2² – 5×2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 et 3² – 5×3 + 6 = 9 – 15 + 6 =0.

Résoudre une équation c'est transformer l'égalité de départ en une égalité du type x = la solution.

2 – résoudre ax + b = c

On suppose que a ≠ 0. L'équation ax + b = c admet une unique solution.

On veut résoudre 4x – 15 = 7.
Étape 1 : On annule le terme constant avec une addition ou une soustraction.
4x – 15 + 15= 7 + 15
4x = 22
Étape 2 : On se débarrasse du coefficient de l'inconnue avec une multiplication ou une division.

4x

4

=

22

4

x =

22

4

x = 5,5
Étape 3 : On vérifie la solution.
4×5,5 – 15 = 22 – 15=7

résoudre 5x + 13 = 4.
5x + 13 = 4
5x + 13 – 13 = 4 – 13
5x = -9

5x

5

=

-9

5

x =

-9

5

= -1,8

3 – résoudre ax + b = cx + d

On veut résoudre 5x – 4 = 7x + 9.
Étape 1 : On sépare les termes en x et les termes constants avec des additions ou des soustractions
5x – 4 +4 = 7x + 9 +4
5x = 7x + 13
5x –7x = 7x + 13 –7x
-2x = 13
Étape 2 : On se débarrasse du coefficient de l'inconnue avec une multiplication ou une division.

-2x

-2

=

13

-2

x =

13

-2

x = -6,5
Étape 3 : On vérifie la solution.
5×(-6,5) – 4 = -32,5 – 4 = -36,5 et 7×(-6,5) + 9 = -45,5 + 9 = -36,5

4 – Résoudre 3(5x – 4)+2(3x + 8) = 15

Avant de commencer la résolution, il faut développer et réduire les deux membres.