N6 – Puissance de 10

I – Puissance de 10

Pour tout nombre entier strictement positif n on note10n =
10×10×…×10
n facteurs


n est appelé l'exposant ou la puissance.


105 = 10×10×10×10×10 = 100 000
103 = 10×10×10 = 1 000
106 = 10×10×10×10×10×10 = 1 000 000

Pour tout nombre entier strictement positif n on note 10n =
10×10×…×10
n facteurs
=
1000…0
n zéros


100 = 1

II – Produit de puissances

Pour tous nombres entiers naturels n et p, on a :
10n×10p = 10n+p


103×102 = 105
104×106 = 104+6 = 1010

On va démontrer l'égalité 10n×10p = 10n+p.
10n×10p =
10×10×…×10
n facteurs
×
10×10×…×10
p facteurs
n+p facteurs
= 10n+p



Résoudre 105×10n = 108. On commence par appliquer la formule de calcul et on obtient 105+n = 108. Ce qui revient à résoudre l'équation :
5+n = 8On en déduit donc que n = 3.
Résoudre 105×10n = 100. On commence par appliquer la formule de calcul et on obtient 105+n = 100. Ce qui revient à résoudre l'équation :
5+n = 0On en déduit donc que n = -5.

On a donc le définition suivante :

Pour tout nombre entier strictement positif n on note 10-n =
1
10n
=
1
10×10×…×10
n facteurs



10-5 =
1
105
=
1
10×10×10×10×10
= 0,000 01
10-3 =
1
103
=
1
10×10×10
= 0,001
10-6 =
1
106
=
1
10×10×10×10×10×10
= 0,000 001

Pour tout nombre entier strictement positif n on note 10-n =
1
10n
=
1
10×10×…×10
n facteurs
=
0,00…01
n zéros


On a donc le théorème suivant (facile à démontrer) :

Pour tous nombres entiers relatifs n et p, on a :
10n×10p = 10n+p

III – Quotient de puissances

Pour tous nombres entiers relatifs n et p, on a :
10n
10p
= 10n-p


1015
108
=1015-8=107
105
108
=105-8=10-3
108
10-5
=108-(-5)=1013

IV – Puissance de puissances

Pour tous nombres entiers relatifs n et p, on a :
(10n)p = 10n×p


(102)3=102×3=106
(10-5)8=10-5×8=10-40


(102)3=106
1023=108

V – Ecriture scientifique d'un nombre

Un nombre est écrit avec son écriture scientifique quand il est écrit sous la forme :
(-)a×10n
où 1≤a<10 et n est un nombre entier relatif.
a est appelé la mantisse


4,5×10-4 est une écriture scientifique
0,23×105 n’en est pas une car 0,23 est inférieur à 1.

Comment donner l'écriture scientifique d'un nombre décimal

Il y a deux cas : Les grands nombres (par exemple 5323,14) et les petites nombres (0,1245).

Cas des grands nombres : On veut l'écriture scientifique de 8 300 000.
On connaît l'allure du résultat : a×10n où 1≤a<10
Etape 1 : on écrit le nombre en ne gardant que les chiffres différents 0 : 83 et on place la virgule pour que ce nombre se retrouve entre 1 et 10 : 8,3
Le nombre sera donc écrit 8,3×10n où n correspond au nombre de rang dont on a décalé la virgule
Etape 2 : on déternime le nombre de rang de décalage. 8,3 → 8 300 000, : 6 rangs
Donc 8 300 000 = 8,3×106

Cas des petits nombres : On veut l'écriture scientifique de 0,00023.
La méthode est exactement la même sauf que l'exposant est négatif.
0,00023 = 2,3×10-4

Produit de nombres en écriture scientifique
On veut donner l'écriture scientifique du produit 2,5×107 × 5,9×10-2. Le travail se fait (éventuellement) en deux parties.

Première partie :
On va utiliser la communtativité de la multiplication :
2,5×107 × 5,9×10-2 2,5×5,9×107×10-2
Puis l'associativité :
(2,5×5,9)×(107×10-2)
14,75×107+(-2)
14,75×105
Attention le résultat peut ne pas être une écriture scientifique. Ici 14,75 n'est pas compris entre 1 et 10 (exclu). Il faut continuer

Seconde partie :
On veut donner l'écriture scientifique d'un nombre du type 14,75×105
On va remplacer 14,75 (qui ne correspond pas au formattage d'un nombre scientifique) par sont écriture scientifique :
14,75×105
1,475×101×105
On termine enfin en effectuant l'opération sur les puissances :
1,475×101×105
1,475×101+5
1,475×106

Quotient de nombres en écriture scientifique
On veut donner l'écriture scientifique du quotient
2,5×1015
4×108
. Le travail se fait (éventuellement) en deux parties.
Rappel :
a×c
b×d
=
a
b
×
c
d
Première partie :
On va "séparer" les puissances de 10 des autres nombres avec la formule précédente :
2,5×1015
4×108
=
2,5
4
×
1015
108

Puis on effectue les calculs sur les fractions :
2,5
4
×
1015
108

0,625 × 1015-8
0,625 × 107

Attention le résultat peut ne pas être une écriture scientifique. Ici 0,625 n'est pas compris entre 1 et 10 (exclu). Il faut continuer

Seconde partie :
On veut donner l'écriture scientifique d'un nombre du type 0,625×107
On va remplacer 0,625 (qui ne correspond pas au formattage d'un nombre scientifique) par sont écriture scientifique :
0,625×107
6,25×10-1×107
On termine enfin en effectuant l'opération sur les puissances :
6,25×10-1×107
6,25×10-1+7
6,25×106