On effectue plusieurs fois cette expérience et on note la fréquence d'obtention de pile. La taille n des échantillons est 10. Voici les résultats de 4 expériences : (Cliquer sur le pièce)
Un échantillon de taille n est une liste de n résultats obtenus par n répétitions d'une même expérience aléatoire.
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles.
Obtenir Pile ou Face en lançant une pièce, répondre oui ou non à une question, etc...
Deux échantillons de taille identique issus de la même expérience alléatoire ne sont généralement pas identiques. La variation de fréquences observée s'appelle la fluctation d'échantillonnage.
Généralement on note :
On effectue l'expérience suivante : on lance 10 fois une pièce et on compte le nombre de fois qu'on obtient pile. La probabilité p d'obtenir pile est de 0,5.
On effectue plusieurs fois cette expérience et on note la fréquence d'obtention de pile. La taille n des échantillons est 10. Voici les résultats de 4 expériences : (Cliquer sur le pièce)
Si on analyse un grand nombre d'échantillon de taille n≥25 d'épreuves de Bernoulli et que l'on observe à chaque fois la fréquence f d'une des issues, on s'aperçoit que pour une probabilité p de l'issue comprise entre 0,2 et 0,8, au moins 95% des fréquences sont comprises dans l'intervalle
I=[p-
;p+1 √n
].1 √n
On considère l’épreuve de Bernoulli consistant à lancer plusieurs fois une pièce de monnaie équilibrée et à noter pour chaque lancer si elle tombe sur Pile ou Face. La probabilité d’obtenir Pile est 0,5.
Pour chaque échantillon on compte le nombre de Pile obtenus et on calcule la fréquence f de Pile.
On observe que la fréquence f de Pile varie selon l’échantillon : on dit qu’il y a une fluctuation de la fréquence selon l’échantillon considéré.
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est p.
Après expérience, on observe f comme fréquence de ce caractère dans un échantillon de taille n.
Soit l'hypothèse : « La proportion de ce caractère dans la population est p. »
Si I est l'intervalle de fluctuation de la fréquence à 95% dans les échantillons de taille n, alors :
Si f∉I : on rejette cette hypothèse au seuil de risque 5%
Sinon, on ne rejette pas cette hypothèse au seuil 5%.
Un laboratoire annonce qu'un médicament sauve 40% (p=0,40) des patients atteints d'une maladie rare. Pour contrôler cette affirmation, on le teste sur 100 patients atteints de cette maladie.
La fréquence des malades sauvés est de 25% (f=0,25). Que penser de l'affirmation du laboratoire ?
L'intervalle de fluctuation à 95%, de la fréquence des patients sauvés, dans les échantillons de taille 100 est
I=[0,40-
;0,40+1 √100
] soit [0,30;0,50].1 √100
La fréquence observé qui est 0,25, n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation, donc, au seuil de risque 5%, on rejette l'hypothèse selon laquelle ce médicament sauve 40% des malades.